Sur quelques termes mathématiques utilisés aussi en géographie.

Bertrand Maury (Laboratoire de Mathématiques d’Orsay), codirecteur du projet GéoMaths, a ouvert la session du matin en revenant sur des notions fondamentales communes aux mathématiques et à la géographie — et plus généralement aux sciences sociales. Un vocabulaire « sensible » qui, s’il n’est pas explicité, peut conduire l’interdisciplinarité à des malentendus délétères. Bertrand Maury est en particulier revenu sur les notions mathématiques suivantes, pointant au passages les différences d’acception de ces termes en géographie.

Ensemble, structure, relation. Par cette approche très générale, et au-delà du « cours de mathématiques » élémentaire, on comprend que l’interdisciplinarité revient à faire se correspondre les structures théoriques respectives de disciplines qui pour autant partagent un ensemble de termes communs. Les dissonances entre ces structures doivent être a minima perçues, si possible réduites, ou à défaut médiées par un système de traduction d’une discipline à l’autre ; mais en tout cas prises en compte, afin d’éviter les malentendus induits par l’existence de faux-amis.

Mesure. La notion de mesure, associée implicitement en géographie au volet empirique de la recherche, a été précisée dans son aspect mathématique fondamental, en particulier dans le cas de la notion d’espace mesuré (et par différence avec l’espace métrique). Les notions d’espace et de métrique étant très prégnantes en géographie, cette mise au point formelle éclaire utilement la collaboration des deux disciplines, les mathématique offrant une perspective théorique et générale sur ces notions. On rappellera les deux types de mesure en modélisation : 1. type « volume » , comme la mesure d’aire sur une zone géographique, qui tapisse l’espace de façon statique, immuable ; 2. type « masse », afférente à des entités (grains, molécules, individus, centres hospitaliers…)

Densité. Le propos sur la mesure permet d’ouvrir le dossier, absolument central en géographie -– et c’est peu dire – de la densité. Concept qu’on retrouve dans toute analyse géographique, et qui consiste le plus souvent à rapporter une quantité (mesure d’un phénomène) à la superficie qu’il occupe. On rappelle que, selon le théorème de Radon-Nykodym-Lebesgue, sous certaines hypothèses, on peut définir la densité d’une mesure relativement à une autre. Sous-entendu : à n’importe quelle échelle, aussi petite soit-elle. Il s’agit d’une idéalisation, qui ne correspond à aucune réalité physique, ni même sociale. La densité, entrée « naturelle » et presque anodine dans l’étude du peuplement en géographie — une des questions essentielles de la discipline —, ne va donc pas de soi en mathématiques. Ce hiatus est le point de départ d’un des axes de recherche structurant du projet GéoMaths : la définition d’une mesure de densité géographique universelle, à la fois pertinente, notamment en milieu urbain, cohérente par rapport à la perspective mathématique, et praticable dans le cadre de calculs sur des données  facilement accessibles.

Distance. Aujourd’hui, la géographie se définit de la manière la plus générale — au-delà des définitions visant ses pratiques particulières — comme « la science sociale de la distance », œuvrant à l’étude de la dimension spatiale du social. Il est donc indispensable de faire un sort au malentendu longtemps entretenu entre les notions de distance en mathématiques et en géographie, notions qui diffèrent sensiblement. Bertrand Maury a rappelé la définition mathématique habituelle, mais aussi présenté l’enjeu de la modélisation mathématique des situations géographiques, qui doit être capable de modéliser les différents types de distance géographique, qui ne sont pas a proprement parler des distances mathématiques, n’en respectant pas la définition, sur la question de la symétrie, de l’inégalité triangulaire, et peut-être même de la séparation (dans une analyse simultanément multiscalaire par exemple). Il y a donc une dissonance nette entre la sècheresse bourbakienne de la distance mathématique et la multiplicité fluide des distances de la géographie. Pour esquisser le rapprochement, Bertrand Maury a présenté des types de distance plus ou moins « exotiques », telles que la distance dans des « espaces de longueur », celle de Manhattan, le genre de « boule » qu’on peut obtenir avec des distances temporelles (très utilisées en géographie, avec la distance prix, mais bien d’autres encore), définissant des espaces au formes compliquées mais bien réels, ou encore la distance ultra-métrique, et son utilité dans la modélisation des systèmes arborescents, comme il en existe tant en géographie.

Dualité eulérien/lagrangien. Enfin, Bertrand Maury est revenu sur deux approches distinctes en mécanique des fluides, la description eulérienne, quand on s’intéresse à l’évolution dans le temps d’une quantité en un point d’observation fixé, et la description lagrangienne, qui consiste à suivre une quantité associée à une entité en mouvement. Ces deux descriptions du monde sont « complémentaires », mais surtout elles nous semblent correspondre a priori respectivement aux deux grandes familles d’objets, de méthodes, d’approches, voire de sensibilités individuelles qui l’on retrouve en géographie et chez les géographes : la géographie des espaces et la géographie des spatialités. Le projet place donc en priorité l’approfondissement et la validation de cette analogie, qui ouvrirait des pistes intéressantes pour la modélisation des phénomènes géographiques. Et ce d’autant que le projet GéoMaths concentre une bonne part de son effort sur la formalisation théorique et la modélisation des spatialités, encore très peu développée en géographie.

Défis en modélisation géohistorique urbaine dans la très longue durée.

Hélène Noizet, médiéviste au LAMOP de l’université Paris 1, a ensuite soumis à l’assemblée quatre ensembles de problèmes qu’elle rencontre dans l’analyse des données spatiales dont elle dispose sur le temps (très) long de l’histoire urbaine de Paris (et d’autres lieux) — depuis l’an mil. Certains de ces problèmes relèvent sans doute de méthodes déjà éprouvées, mais d’autres en revanche, saisis dans leur complexité, peuvent déboucher sur des problèmes de recherche en mathématiques.

Détection systématique de formes urbaines. Comment extraire des formes urbaines marquées par une parcellisation spécifique (division du sol en parcelles pour résider et produire) ? :

– Régularité différenciée des lotissements : 6 types du plus simple (voies) au plus compliqué (voies+parcelles+bâti). Critères mathématiques : degré d’étirement, de rectangularité (écart surfacique par rapport au rectangle englobant), orientation. Mais est-ce possible d’affiner et de discriminer le degré de complexité et repérer différents types de lotissements ?

– Durabilité des noyaux polarisants : comment identifier les noyaux villageois qui sont des pôles organisateurs des formes urbaines dans la longue durée (bourg St-Marcel) ?

– Alignements polylinéaires ou courbes : influence des tracés des enceintes et des cours d’eaux (paléochenal de la Seine). Comment les repérer sur l’ensemble du tracé, et pas simplement en les divisant en segments juxtaposés ?

– Unités extensives liées à des besoins de place : la localisation des hôtels aristocratiques (anneau des seigneurs), des enclos monastiques (îlot de St-Victor à Jussieu), des poulies des tisserands des 13e-14e s. (quartier du Temple) induit une faible parcellisation qui marque l’espace urbain encore au début du 19e s., et même aujourd’hui (même si dans une moindre mesure). Comment les détecter ?

Voisinages fonctionnels et clusters de métiers. Comment reconstituer des filières professionnelles constituant des chaînes de dépendance dans le cadre artisanal de la production (multipoints reliés entre eux par les déplacements des produits, et non pas un lieu industriel du type usine) ? :

– Filière des métiers du livre dominée par les libraires

– Filière des métiers de la petite draperie

– Filière de la fabrication des ceintures, objets très courants

Formes urbaines et formes de l’urbanité dans le temps long. Articulation dans la longue durée des formes urbaines et des formes de l’urbanité, conçues comme des espaces et des spatialités urbaines : entre auto-structuration et bifurcation du système urbain

– Formes urbaines = espaces urbains (voies, parcelles, bâti) réifiés par des pratiques urbaines

– Formes de l’urbanité = spatialités urbaines correspondant à des pratiques spatiales, des projets situés (installer des dépendants dans un lotissement, fonder un marché ou un collège, enterrer les morts dans un cimetière, transformer un monastère en une église paroissiale, aménager sa maison pour y vivre avec des apprentis, organiser des joutes et des tournois dans son hôtel aristocratique…)

– Certaines spatialités sont capables de faire bifurquer le système et d’autres non : le lotissement Saint-Amour à Lyon est balayé par l’extension de la grille du lotissement Morand ; disparition de la rue d’Agnès la Bouchère au profit de la voie nord-sud. Est-ce possible de les distinguer structurellement ? Dimension prédictive des spatialités à devenir des espaces urbains : la construction d’un lotissement ou une création de voies peuvent-elles enclencher une nouvelle dynamique spatiale ou bien prolonger le système hérité ou bien disparaître, concurrencées par un autre projet plus porteur de flux ?

Analyse structurelle du réseau viaire. Comment repérer les lieux remarquables du réseau viaire, qu’ils le soient négativement (impasses, blocages) et positivement (centres, points de passages obligés) :

– Exemple de la rue du Sièges-des-Déchargeurs dans le poème de Guillot et dans la forme urbaine : lieu de blocage

– Exemple de la rue de la Harpe : effet patte d’oie dû à un point de passage obligé de l’enceinte romaine sur l’île de la Cité

Une nouvelle approche en géographie culturelle : paysages et ontologie géolinguistique des lieux

Sébastien Gadal, géographe à l’UMR 7300 ESPACE, a présenté un axe de recherche géomathématique explorant les formalisations possibles des relations entre les paysages, servant à identifier par le « vécu » et à hauteur d’homme, des types de lieux, la définition de lieux dans différentes langues, et la détection de ces lieux à partir de données (images) issues de la télédétection.

Les données de télédétection. La télédétection consiste en l’enregistrement en « surplomb » (par satellites, avions, drones…) et précisément localisé du rayonnement électromagnétique réfléchi ou émis de la surface terrestre.  On dispose ainsi d’une information des caractéristiques physiques des objets géographiques pouvant être très riche (multispectrale, hyperspectrale) et géographiquement très fine (à quelques mètres près, voire moins) sur l’espace, et en particulier au-delà du spectre visible, permettant de caractériser des objets tels que le couvert végétal ou le type de revêtement routier ou des toitures, ou à l’inverse des unités de paysages ou des structures territoriales régionales avec des images d’une résolution kilométrique. Des modèles permettent de déduire de ces données élémentaires des informations de nature plus nettement « sociales », touchant à l’urbain ou au peuplement par exemple, voire à certaines caractéristiques des populations habitant ou traversant les lieux (ex : selon le contexte, le type de couverture des toits ou des routes peut correspondre à un niveau de richesse). Une relation formalisée à travers l’ouvrage de 1998 du National Research Council,People and Pixels: Linking Remote Sensing and Social Science. Ajoutons que ces données de télédétection radiatives peuvent être associées à des modèles numériques de terrain (MNT), permettant de construire représentation tridimensionnelle de l’espace géographiques (latitude, longitude, altitude) ; ou alternativement comme surfaces non-planes dotées de courbures locales intrinsèques, ce qui correspond mieux, en définitive, à la manière dont les espaces sont vécus et donc aux spatialités qui les structurent (ce qui est un peu moins vrai en milieu urbain dense et dans les habitats troglodytes ou les exploitations minières en sous-sol). La prise en compte de la topographie locale sous un point de vue situé et horizontal est en tout cas un aspect important de la description paysagère, permettant notamment de caractériser un degré d’ouverture du paysage, dont l’horizon est plus ou moins proche, et plus ou moins « bouché » par des obstacles, topographiques, bâties, ou autres.

Télédétection et appréhension sociale des espaces. La télédétection s’avère un outil particulièrement puissant et utile pour la gestion des espaces naturels anthropisés. Sébastien Gadal nous a ainsi présenté des travaux portant sur les immensités de la Sibérie orientale, en Iakoutie, où les dynamiques écologiques sont repérables avec une grande finesse par la télédétection. Néanmoins, la perspective de la science du social incite à considérer et prendre au sérieux les catégories d’analyse des habitants de ces espaces, qui constituent l’environnement naturel de leur société, et de ce fait la structure et lui confère sa stabilité, ou encore en conditionnent les évolutions. S’il est possible d’objectiver jusqu’à un certain point la nature matérielle de l’espace géographique (eau, glace, neige, végétation, steppe, pergélisol, feux de forêts, taiga, toudra, habitations de différents types, mines, etc.), cette information élémentaires ne prend sens que dans le cadre des catégories de pensée de la société locale, qui opère en générale des distinctions qui échappent à la catégorisation que le non-spécialiste allochtones peut imaginer. Par exemple, les Evenks de Sibérie, les populations iakoutes, sont en mesure de distinguer une multitude de paysages différents là ou le géographe « européen » ne verra que de la « taïga » ou de la « toundra ». Ainsi par exemple des zones de sapins, dans les parties avec les aiguilles épaisses, où il fait froid (important l’été) ; l’été les bêtes féroces s’y réfugient, tels que le gibier à sang noir ; on y pratique pas la chasse ; il est difficile de s’y déplacer ; on y entend bien le gibier. Ce rapport géographique à la nature a produit des modes d’adaptations des populations locales et autchotones à l’environnement arctique et sub-arctique extrême, où les alaas — une dépression lacustre résultant d’un affaissement de terrain dus au tassement du sol consécutif de la fonte de la glace du pergélisol — jouent un rôle important : ce sont les lieux « anthropologiques » d’émergence d’une culture locale, des lieux d’habitats, des fermes, des espaces d’élevages, des lieux symboliques. La télédétection spatiale met bien en évidence ces espaces et les cultures géographiques qui leur correspondent.

Cette catégorisation passe par un lexique, propre à chaque peuple, les lexiques des différents peuples étant loin de se superposer exactement (les peuples du Grand nord distinguent en général facilement un grand nombre de type de neige ou de vents mais aussi de formations végétale ou des zones humides, comme par exemple les alaas en Iakoutie).

Les données de télédétection. La télédétection consiste en l’enregistrement en surplomb (par satellites, avions, drones…) et précisément localisé du rayonnement de la surface terrestre.  On dispose ainsi d’une information pouvant être très riche (multispectrale) et géographiquement très fine (à quelques mètres près, voire moins) sur l’espace, et en particulier au-delà du spectre visible, permettant de caractériser des objets tels que le couvert végétal ou le type de revêtement routier ou des toitures. Des modèles permettent de déduire de ces données élémentaires des informations de nature plus nettement « sociales », touchant à l’urbain ou au peuplement par exemple, voire à certaines caractéristiques des populations habitant oui traversant les lieux (ex : selon le contexte, le type de couverture des toits ou des routes peut correspondre à un niveau de richesse). Ajoutons que ces données de télédétection radiatives peuvent être associées à des modèles numériques de terrain (MNT), permettant de construire représentation tridimensionnelle de l’espace géographiques (latitude, longitude, altitude) ;  ou alternativement comme surfaces non-planes dotées de courbures locales intrinsèques, ce qui correspond mieux, en définitive, à la manière dont les espaces sont vécus et donc aux spatialités qui les structurent (ce qui est un peu moins vrai en milieu urbain dense et dans les habitats troglodytes ou les exploitations minières en sous-sol). La prise en compte de la topographie locale sous un point de vue situé et horizontal est en tout cas un aspect important de la description paysagère, permettant notamment de caractériser un degré d’ouverture du paysage, dont l’horizon est plus ou moins proche, et plus ou moins « bouché » par des obstacles, topographiques, bâties, ou autres.

Télédétection et appréhension sociale des espaces. La télédétection s’avère un outil particulièrement puissant et utile pour la gestion des espaces naturels anthropisés. Sébastien Gadal nous a ainsi présenté des travaux portant sur les immensités de la Sibérie orientale, où les dynamiques écologiques sont repérables avec une grande finesse par la télédétection. Néanmoins, la perspective de la science du social incite à considérer et prendre au sérieux les catégories d’analyse des habitants de ces espaces, qui constituent l’environnement naturel de leur société, et de ce fait la structure et lui confère sa stabilité, ou encore en conditionnent les évolutions. S’il est possible d’objectiver jusqu’à un certain point la nature matérielle de l’espace géographique (eau, glace, neige, végétation, steppe, forêt, habitations de différents types), cette information élémentaires ne prend sens que dans le cadre des catégories de pensée de la société locale, qui opère en générale des distinctions qui échappent à la catégorisation que le non-spécialiste allochtones peut imaginer. Par exemple, les Evenks de Sibérie sont en mesure de distinguer une multitude de paysages différents là ou le géographe « européen » ne verra que de la « taïga » ou de la « toundra ». Ainsi par exemple des zones de sapins, dans les parties avec les aiguilles épaisses, où il fait froid (important l’été) ; l’été les bêtes féroces s’y réfugient, tels que le gibier à sang noir ; on y pratique pas la chasse ; il est difficile de s’y déplacer ; on y entend bien le gibier.

Cette catégorisation passe par un lexique, propre à chaque peuple, les lexiques des différents peuples étant loin de se superposer exactement (les peuples du Grand nord distinguent en général facilement un grand nombre de type de neige ou de vents mais aussi de formations végétale ou des zones humides, comme par exemple les alaas en Yakutie, — une dépression lacustre résultant d’un affaissement de terrain dus au tassement du sol consécutif de la fonte de la glace du pergélisol)

Paysages et ontologie géoliguistique des lieux. Dans l’optique d’un conseil pertinent en vue d’un action efficace, Sébastien Gadal exprime l’idée qu’il faille aider ces peuples autochtones à développer des outils d’analyse et de gestion de leur espaces qui soient congruents avec la manière dont ils conçoivent leur géographie. Ceci plutôt que de leur fournir des cartes pauvres, car bâtie sur des catégories de lieux (type d’espaces, paysages) qui à la fois ne sont pas assez assez précises et n’ont pas de pertinence vis-à-vis des modes de vie autochtones. Il s’agit en un mot, à partir de la technologie de télédétection, de produire des images de l’espace (cartes s.l.) qui « parlent » aux acteurs auxquels elle sont destinées, qu’il est mieux qu’ils coproduisent, et dont ils pourront se servir in situ. L’enjeu de cette démarche est donc une définition des lieux de la carte qui repose sur une mise en relation pertinente de données objectives de télédétection et des définitions paysagères (s.l.) locales, passant naturellement par un lexique spécifique dont il faut comprendre la subtilité des relations internes.

Au delà de l’IA. Le programme GéoMaths a sur ce point l’ambition de contribuer à forger des outils d’analyse qui aillent au-delà de ce que l’intelligence artificielle puisse faire. Il reste en effet certains aspects de cette problématique qui nécessitent de conserver la possibilité d’expliciter et d’intervenir sur les relations causales qu’on établie ente les éléments du système analysé. En outre, la dimension spatiale de l’information comporte en particulier un certain degré de singularité, au travers de localisations absolues ou relatives spécifiques, qui font que la simple mise en correspondance de « pixels » d’information et de « labels » géographiques ne rend pas complètement compte (voire mal) de la complexité spatiale des objets géographiques qui pourtant structurent la pensée et l’action dans nombre d’environnements humanisés.

Adresse du géographe au mathématicien

Patrick Poncet, géographe (Laboratoire Médiations, Sorbonne Université), codirecteur du projet GéoMaths, a proposé à l’assemblée une approche très générale de la géographie, comme « discipline » explorant une des dimensions du social – le spatial –, ainsi qu’une configuration de la mise en relation de la géographie et des mathématiques au sein du projet, notamment dans la perspective paradigmatique de la Science du social (Dulac, 2022, CNRS Éditions). Il revient sur les concepts les plus généraux de la géographie, susceptibles de faire l’objet d’un enrichissement de leur définition par une (meilleure) formalisation mathématique.

L’écoumène, objet sommital de la géographie. Avec la ville, le réseau mondial et les États, l’écoumène est une des quatre objets complexes fondamentaux de la géographie. Il s’agit de l’espace humanisé, occupé, nommé, habité et traversé. La dimension du « traverser » est sans doute l’une des plus mal connues et des moins bien formalisées en géographie, et concentrera une partie des travaux du programme GéoMaths, notamment sous l’égide de Xavier Bernier (cf. infra). L’étude de l’écoumène est une première manière de répondre à la question fondamentale et spécifique de la géographie : « pourquoi là et pas ailleurs ? ». La réponse passe alors par l’explicitation de la tension entre la verticalité (on est ici parce que quelque chose s’y trouve localisé durablement — une ressource) et l’horizontalité (on est ici parce qu’on est à une distance pertinente des autres lieux humanisés). L’analyse consiste à préciser la forme et l’intensités du peuplement, objet synthétique de la géographie, à prendre dans ses deux composantes : habiter et traverser.

Signature spatiale. Patrick Poncet présente ensuite un enjeu important pour l’analyse formelle en géographie : la détermination de la « signature spatiale ». Concept pour lequel le programme GéoMaths voudrais développer des techniques de définition et d’exploitation. La notion de signature exprime l’idée que chaque configuration spatiale – et donc chaque problème géographique – est marqué par une « collection » d’échelles et de métriques spécifiques, caractérisant les espaces et les spatialités mis en jeu. En identifiant ces ensembles, on peut donc spécifier et donc comparer et assimiler des espaces singuliers. Une manière aussi d’enrichir la définition de la notion d’échelle en géographie, comme une collection de tailles spécifiques des objets spatiaux émargeant à un problème géographique. Plus généralement, et sans référence directe aux échelles et métriques, la notion de signature spatiale sous-tend l’idée que puissent être développées des technique de comparaison directe d’espaces et de spatialités, en vue d’apprécier leur similitude au-delà de leur singularité. C’est un des axes de recherche du projet GéoMaths.

Le concept de spatialités. Il a ensuite été précisé le concept de spatialités, c’est-à-dire les actions de nature spatiale. Une manière d’insister sur la nécessité, pour toute modélisation du social « acceptable » (par les sciences sociales), d’introduire dans les modèles des entités qui possèdent les quatre caractéristiques d’un acteur : intériorité subjective, intentionnalité, capacité stratégique autonome, compétence énonciative. Et de pointer également le fait qu’en géographie, l’étude des spatialités constitue le front de recherche emportant le plus d’enjeux cognitif, et peut-être le plus actif ; l’étude des espaces étant déjà assez largement avancées, y compris dans la formalisation mathématique.

L’approche par la simulation d’une suppression : Post Car World . Ont ensuite été présentées des cartes illustrant les résultats d’une modélisation effectuée fans le cadre du programme de recherche Post Car World de l’EPFL, portant sur la suppression de l’automobile, en l’occurence pour le territoire suisse. Il s’agissait de faire percevoir par l’exemple l’opposition entre habiter et traverser, chacun des deux concepts occupant une des extrémités du spectre des spatialités. Le modèle montrait deux cartes d’évolution du peuplement helvétique sous l’hypothèse, suite à la suppression de l’automobile, soit d’une demande dominante « d’habiter », conduisant à un peuplement concentré sur un petit nombre de villes nettement grossies et densifiées, vidant de sa population le reste du territoire, ou bien à l’inverse sous l’hypothèse d’une demande dominante de « traverser », conduisant à un peuplement rabattu le long des axes des transports structurant le territoire.

Quel modèle général pour le peuplement ? Patrick Poncet propose d’entrer dans la modélisation du peuplement par la ville, qu’il définit de manière aphoristique comme « une machine sociale qui sert à faire se rencontrer des gens qui ont des choses à se dire, si possible au hasard. »

L’idée directrice est de partir des trois composantes de la ville et d’y associer des variables et leurs familles d’indicateurs susceptibles de mesurer et donc rendre compte de l’urbanité en tout lieu. Autrement dit :

– Centre, i.e. densité : le primat de la concentration (en partie dynamique, pulsante). Habiter = Traverser.

non-commutativité, verticalité, lacunarité réticulaire. La densité mesure la proximité des voisins et estime une interaction sociale potentielle.  Elle est un indicateur non-linéaire, affecté par la ma manière dont est regroupée la population, mais aussi par la verticalité et la lacunarité réticulaire de l’espace urbain. Non-linéarité : 50 villages de 400 habitants (ex : Pommard) ce n’est pas une agglomération 20.000 habitants (ex : Beaune), du fait que l’on évalue l’urbanité au travers du nombre de relations entre habitants — qui croit en raison du carré de la population — et non de leur nombre. La densité est associée aux centres dans la mesure où elle passe par des processus de concentration, pérennes ou cycliques (jour/nuit, moments de la journée, saison touristique, etc).

– Quartiers, i.e. diversité : le primat de la complémentarité des fonctions. Un espace de vie doté d’une autonomie. Habiter > Traverser. Comment mesurer la complémentarité locale des fonctions ? Peut-on la mesurer en tout point ? Aspect important de la notion de gradient d’urbanité (en l’occurence prédictif du vote).

– Espace public, i.e. mixité : l’espace le plus universellement accessible, là où la société se voit, se présente, se représente, se rencontre, communique. Incarné par les espaces publics urbains, mais aussi dans une perspective plus générale par le tourisme et le cyberespace (Internet, télécommunications…). Traverser > Habiter. La mixité mesure la performance de l’espace public, notamment par la médiation (active) des différences (la diversité mesure la différence, mais ne dit pas ce que la société en fait, ni d’ailleurs peut en faire, notamment lorsque cette différence est si importante qu’elle génère plutôt des conflits qu’une interaction socialement productive).

Il s’agit donc in fine d’établir une équivalence entre modèle urbain universel et modèle universel du peuplement : d’une part Ville = Centres + Quartiers + Espaces publics etd’autre part Urbanité = Densité + Diversité + Mixité ; indicateurs à définir mathématiquement et mesurer en tout point, à toutes les échelles, selon toutes les métriques.

Quatre principes pour des modèles réellement « sociaux ». Elargissant la perspective vers l’épistémologie, Patrick Poncet suggère quatre principes pour qu’une modélisation mathématique du social puisse être reçue favorablement et utilisée en sciences sociales :

– suggestion n°1 : recourir à des entités de type « acteurs », à côté des «  objets »  et des « environnements » (mais aussi de leurs complémentaires : les « organisations », les « agents » et les « institutions ») : « Actant pourvu d’une intériorité subjective, d’une intentionnalité, d’une capacité stratégique autonome et d’une compétence énonciative. »

– suggestion n°2 : faire preuve d’historicité

– suggestion n°3 : utiliser de l’espace relatif relationnel : l’espace de notre géographie est fait des lieux qu’il faut d’abord choisir parce qu’ils sont pertinent par rapport au problème spatial traité, et il est complètement défini par les distances géographique entre ces lieux (qui peuvent avoir des géométries très variables et liées entre elles), sans référence à un espace « extérieur » qui déterminerait les distances par le calcul, à partir des positions de lieux qui seraient plongés dans cet espace abstrait et absolu.

– suggestion n°4 : s’inscrire dans la paradigme de la complexité. En sciences sociale, la démarche analytique peut-être handicapée par le fait que le tout est présent dans les parties.

L’esprit du programme GéoMaths.La conclusion de l’intervention exprime l’esprit général du projet GéoMaths : utiliser des objets mathématiques « pointus » pour mieux saisir les phénomènes géographiques et spatiaux, inventer et définir de nouveaux concepts sociaux et in fine rendre plus intelligible le social. Et inversement, trouver une interprétation géographique à des objets mathématiques pouvant décrire le spatial.

La bibliothèque idéale du géomathématicien. Une sélection de livre permettant d’entrée dans la géographie à un niveau suffisamment général pour en saisir les enjeux et les questionnements clés.

• DULAC, Pour une science du social, CNRS Éditions, 2020
• Jacques LÉVY et Michel LUSSAULT (dir.), Dictionnaire de la géographie et de l’espace des sociétés, Belin, 2013 (2003)
• Jacques LÉVY, L’espace légitime, Presses de Sciences Po, 1994
• Augustin BERQUE, Écoumène, Belin, 2016 (2000)
• Christian GRATALOUP, Géohistoire, Les Arènes, 2023
• Jacques LÉVY (dir.), L’invention du Monde, Presses de Sciences Po, 2008
• Boris BEAUDE, Internet : changer l’espace, changer la société, FYP, 2012
• Dominique BOULLIER, Propagations, Armand Colin, 2023
• Patrick PONCET, Intelligence spatiale, Presses Universitaires de Rennes, 2017
• Patrick PONCET, Hypothèses et propositions pour une théorie des spatialités, Groupe Olivier Dollfus, 2025
• Revue EspacesTemps (espacestempts.net)

Ce que traverser veut dire ? Configurations et modèles, métriques et mesures

Xavier Bernier, géographe (Laboratoire Médiations, Sorbonne Université), nous a proposée un voyage étonnant dans le monde des spatialités du « traverser », concept qu’il a mis et point et développé pour rendre de compte de l’autre grande manière de faire avec l’espace, aux antipodes de l’habiter. Avec en exergue de son intervention cette citation inquiétante de Thomas Edward Lawrence – dit « Lawrence d’Arabie » – : « On affirme, en Orient, que le meilleur moyen pour traverser un carré est d’en parcourir trois côtés »…

Une idée, beaucoup de mots. Partant de la traversée comme figure incontournable du comportement spatial, Xavier Bernier nous fait d’abord découvrir l’ampleur lexicale du domaine sémantique du « traverser », y compris au travers de comparaisons entre langues différentes, qui ne disent pas ces spatialités de la même façon.

Parcourotypes et théorie du traverser. Dans un effort de formalisation, il est possible de définir des types de parcours schématiques, qui illustrent la grande variété des actes du traverser. Xavier Bernier insiste sur l’importance qu’il y a penser le traverser non comme une mise en relation technique de lieux, qui ne compterait pas vraiment, mais au contraire comme un acte qui se déroule dans le temps et a lieu dans l’espace, qui a un début, un milieu et une fin, qui suppose une initialisation, des actualisations, et une validation. Ceci dans le cadre plus général qui est celui qui fonde les spatialités, l’actualisation continue de virtualités pour composer in fine la réalité du monde.

La traversée des États-Unis. On en vient ensuite à un ensemble d’exemples autour de la traversée des États-Unis, mais aussi, du traverser dans des villes américaines. La richesse des analyses proposées ne saurait être rendue ici. Il aura été question notamment de la traversée virtuelle du continent, sur GoogleMaps, ce qui constitue une exploration aux limites de l’univers du traverser, quand il correspond à des actes certains et engageant — des jours entiers à cliquer — mais sans mobilité physique. Loin d’une curiosité anecdotique, il faut plutôt y voir l’essence même du traverser poussé au bout, qui par nature opère par échantillonnage de l’espace pour s’en faire une idée et par là même en faire l’expérience — comme c’est le cas du tourisme. Une opération anodine et quotidienne, car jamais personne ne vit « exhaustivement » un espace. C’est ensuite à la question des routes qui matérialisent la traversée matérielle du continent que s’attaque Xavier Bernier : l’iconique route 66 dont il ne reste que des fragments, mais aussi le film culte Easy Rider (1969) et une mythologie fondant des pratiques touristiques ; et les itinéraires de Jack Kerouac (Sur la route, 1957), de Forest Gump (1994), ou de Thelma et Louise (1991). Enfin, c’est le « freedom trail » qui parcours en 16 étapes la ville de Boston sur les lieux historiques de l’indépendance américaine, concurrencé par le Black Héritage Trail, aux 145 stations retraçant l’histoire afro-américaine : deux traversées urbaines qui « spatialisent » — au sens des spatialités — les conflits mémoriels qui traversent la société américaine.

Mettre en formes ou équations ? Xavier Bernier a enfin présenté les formalismes expérimentaux qu’il avait imaginés pour rendre compte des logiques et des paramètres du traverser ; un exercice éminemment difficile tant nous sommes tous beaucoup plus habitués et familiers de la formalisation des espaces, plutôt que de celles des spatialités. Reprenant l’idée que le traverser s’inscrit dans un espaces-temps autonome doté de sa propre dynamique, il insiste sur le fait qu’il est constitué d’instants successifs (instantiations), des points qui chacun sont à la fois la concrétisation de l’itinéraire et l’occasion de sa réactualisation. En recourant à l’éventail des ponctuations (typographiques), il est alors possible de transcrire avec exactitude et pertinence le récit spatial : décalage du point virgule, transition des deux points, points de suspension, d’exclamation, d’interrogation, points d’une liste pour l’énumération. Seconde forme évoquée : la spirale, dont « l’ouverture » rend compte de la dilatation des ces instants de la traversée, plus ou moins accueillants et ouverts aux virtualités de la situation. Enfin, troisième forme, un « angle » évalué en chaque point, représentant respectivement, selon qu’il est droit, aigu ou obtus, la conformité de la traversée à la logique de l’instant, l’acceptation d’une part de sérendipité plus ou moins significative, c’est-à-dire le risque d’une déprogrammation, ou bien à l’inverse la minimisation de l’exposition et de l’engagement. Sans qu’il faille nécessairement comprendre ces formes comme des suggestions de formalisation mathématique, elles permettent de saisir la complexité descriptive requise pour rendre compte des spatialités du traverser. C’est à ce titre que Xavier Bernier cite Georges Pérec : « Le problème n’est pas d’inventer l’espace, encore moins de le réinventer (trop de gens bien intentionnés sont là aujourd’hui pour penser notre environnement…),  mais de l’interroger, ou, plus simplement encore, de le lire. ».

Pistes géomathématiques

Betrand Maury nous a proposé en conclusion de la journée un exposé sur quelques rapprochements que nous entrevoyons entre des objets mathématiques et des problèmes de géographie.

Tourisme. Une première illustration a porté sur la détermination d’itinéraires touristiques. Contrairement à une approche classique, qui consiste à minimiser par exemple un temps ou une longueur de trajet, problème dit de la « tournée du facteur », les itinéraires touristiques trouvent leur optimalité dans une tension entre un coût spatio-temporel et un bénéfice cognitif. Quand il s’agit de visiter une région par exemple, le tourisme consiste, pour une durée donnée et une « vitesse » maximum, à dépenser utilement temps et distance (les deux allant ensemble). Les méthodes d’optimisation habituelles sont peu pertinentes, surtout lorsqu’il s’agit d’un itinéraire revenant à son point de départ (ou une excursion dans la journée). Nous avons pu voir fonctionner une première version d’un algorithme œuvrant à cette détermination d’itinéraires « réellement » touristiques, respectueux de la dimension spatiale du tourisme, espaces comme spatialités (le tourisme relevant fondamentalement du traverser).

Transport optimal. Domaine des mathématique ayant connu un regain d’intérêt et de progrès ces dernières années, le transport optimal nous semble particulièrement intéressant pour approcher une modélisation pertinente et efficace de la dimension spatiale du social. Il permet notamment de construire une « distance » entre espaces mesurés (distributions de masses, de personnes…). En cela, il constitue le pendant lagrangien d’autres mesures, eulériennes quand à elles, qui peuvent ne pas rendre compte de réalités géographiques pourtant facile à saisir, comme par exemple dans la mesure de l’écart à une distribution spatiale uniforme d’un phénomène. En raisonnant non pas verticalement (l’écart local à la moyenne par exemple), mais horizontalement (quelle masse déplacer vers où pour égaliser la distribution), le transport optimal permet de décrire une « géographie » d’une manière plus proche des comportements spatiaux (spatialités) qui la produisent. Avec comme avantage d’être aussi moins sensible à des variations locales importantes mais peu significatives : là où la vision eulérienne sommera des écarts locaux et aboutira à une grande dissimilarité, l’approche lagrangienne minimisera des déplacements pour aboutir à une somme de déplacements relativement faible, les écarts à la moyenne voisins se compensant.

Modélisation des processus de peuplement urbain. S’appuyant sur une proposition de G. Buttazzo & F. Santambrogio (2005), Betrand Maury a ensuite esquissé pour l’exemple un processus de peuplement, articulant trois composantes : une logique de concentration maximal autour de sites favorables d’établissement (produisant une distribution de Dirac), une logique d’étalement minimal autour de ces lieux – ces deux primières composantes sont plutôt eulériennes – et une troisième terme, appuyé sur une expression de transport optimal, structurant le peuplement dans son rapport horizontal à de lieux de service – dans une approche plutôt lagrangienne donc. C’est l’occasion de rappeler que la conjugaison de l’horizontalité et de la verticalité peut être vue comme une manière de décrire la tension fondamentale qui préside à développement de l’écoumène, objet central de la géographie, comme cela a été rappelé par Patrick Poncet plus tôt dans la journée.

Comparaison d’espaces. Au chapitre des outils dont rêvent les géographes, on trouve ceux qui permettraient la comparaison directe d’espaces, sans passer par des indicateurs en synthétisant les propriétés – souvent au prix d’un appauvrissement regrettable. Là encore, le transport optimal pourrait offrir une piste de travail fructueux au travers de la distance de Gromov-Hausdorf pour les espaces métriques, et de la distance de Gromov-Wasserstein pour les espaces métriques mesurés. Ce type de distance permet d’évaluer à quel point deux espaces se ressemblent (moyennant quelque ajustement techniques), comme si l’on évaluait, pour prendre une image, la plan de déménagement d’une population entre les deux territoires comparés. Par différence avec une simple « translation », qu’on aurait entre deux espaces identiques (quand à leur structure géographique), les modulations d’un plan de transport réel nous renseignent sur leur différence, sur la manière les distorsion d’un espace par rapport à l’autre, sous la forme d’une « distance » (ici sans rapport avec la distance géographique qui les sépare). Certains distances sont ainsi allongées, d’autres réduites, la distance de Gromov-Wasserstein cherchant à minimiser la distorsion en moyenne (quadratique). Une piste de travail porte sur la prise en compte de la similitude des spatialités et non seulement des espaces, c’est-à-dire des pratiques spatiales d’une population habitant un territoire (en termes de circulations internes par exemple).

Le modèle des avatars. Explorant une toute autre question, Bertrand Maury a présenté une expérimentation embryonnaire visant à opérer une sorte de lissage de la densité de population urbaine sur la base de l’interaction sociale entre ses habitants ; approchant en cela la question de l’espace public. Ce modèle, dit des « avatars », consiste, à l’aide d’un modèle s’inspirant de l’équation de la chaleur et faisant donc intervenir un laplacien, à démultiplier la population résidente en nombreuses répliques individuelles d’elle-même, évoluant à proximité de leur lieu de résidence, et dont on simule la rencontre. La cartographie de la densité de rencontre donne une vision originale et intéressante de la densité résidentielle, représentant en quelque sorte l’urbanité virtuelle que l’on peut lui associer

Courbure et flot de Ricci-Ollivier. Même si Bertrand Maury n’a pas eu le temps de détailler ce dernier point, il est intéressant de l’évoquer, car il nous semble un bon exemple d’un lien explicite et direct entre des conceptions formelles de la géographie et des outils mathématiques qui leur sont directement applicables. En effet, il est possible d’envisager la variété des espaces géographiques comme s’étirant sur un spectre allant du « territoire » au « réseau (hiérarchisé) », entre lesquelles on trouve de objets géographiques intermédiaires (horizon et rhizome). Or, ces types d’espaces peuvent être assimilés à des graphes, un graphe complet pour le territoire (absolu), reliant chaque point à tous les autres, un arbre pour le réseau hiérarchisé ; et des graphes « plus ou moins » planaires et hiérarchisés dans l’entre-deux. La courbure de Ricci-Ollivier semble être un instrument de mesure qui puisse permettre de positionner sur ce spectre des espaces géographique ainsi formalisés sous la forme de graphes (composés de lieux et des distances entre ces lieux ): une courbure positive pour les espaces territoriaux, et négative pour les espaces réticulaires. Le flot de Ricci permettraient de compléter cette instrumentions, en particulier dans la perspective d’une cartographie, étirant la distance des arrêtes à courbure négative et la réduisant pour les arrêtes à coupure positive, faisant de ce fait apparaitre plus nettement les ensembles territoriaux et les parties de l’espace plus réticulaires. Nous travaillons actuellement à une application de cette approche aux réseaux de transports publics urbains (métros).

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